а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме точка M лежит на вы­со­те ос­но­ва­ния BD, при­чем точка N лежит на диа­го­на­ли CB₁ бо­ко­вой грани CC₁B₁B. Пря­мые AN и A₁M пе­ре­се­ка­ют­ся.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти ACN, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 5, а вы­со­та равна 10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Для по­куп­ки ав­то­ма­ши­ны Сер­гей ско­пил 2 780 000 руб­лей, а не­до­ста­ю­щую сумму он взял в банке в кре­дит под 25% го­до­вых на три года. Вы­пла­чи­вать кре­дит он дол­жен ан­ну­и­тет­ны­ми пла­те­жа­ми (заёмщик каж­дый год вы­пла­чи­ва­ет одну и ту же сумму). Сколь­ко про­цен­тов от сто­и­мо­сти ма­ши­ны Сер­гею не хва­та­ло на её при­об­ре­те­ние, если из­вест­но, что он пе­ре­пла­тил по кре­ди­ту 655 000 руб­лей?

Окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ раз­ных ра­ди­у­сов пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В. Хорда АС боль­шей окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке М и де­лит­ся этой точ­кой по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ция от­рез­ка O₁O₂ на пря­мую AC в че­ты­ре раза мень­ше AC.

б)  Най­ди­те O₁O₂, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 10 и 15, а АС  =  24.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная оси ор­ди­нат, имеет не­чет­ное число общих точек с гра­фи­ком функ­ции

В шах­мат­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ли ко­ман­ды трех школ (по одной ко­ман­де на каж­дую школу). Все ко­ман­ды имели оди­на­ко­вое число иг­ро­ков. При встре­че двух ко­манд каж­дый участ­ник ко­ман­ды сыг­рал одну пар­тию с чле­ном ко­ман­ды со­пер­ни­ков. За вы­иг­рыш пар­тии ко­ман­де при­суж­да­лось 2 очка, за ничью  — одно очко, за про­иг­рыш  — 0 очков. По­бе­ди­тель­ни­ца встре­чи двух ко­манд опре­де­ля­лась по сумме на­бран­ных очков. После про­ве­де­ния всех трех встреч на­бран­ные каж­дой ко­ман­дой очки сум­ми­ро­ва­лись, и опре­де­ля­лась ко­ман­да-по­бе­ди­тель­ни­ца тур­ни­ра.

а)  Могла ли ко­ман­да, по­бе­див­шая каж­дую ко­ман­ду со­пер­ни­ков, за­нять по­след­нее место по ито­гам тур­ни­ра?

б)  Могла ли ко­ман­да, по­бе­див­шая каж­дую ко­ман­ду со­пер­ни­ков, не стать по­бе­ди­те­лем тур­ни­ра?

в)  Пер­вая ко­ман­да, играя со вто­рой ко­ман­дой, 2 пар­тии про­иг­ра­ла и 3 пар­тии свела вни­чью, а играя с тре­тьей ко­ман­дой, 2 пар­тии про­иг­ра­ла и 2 свела вни­чью. Вто­рая ко­ман­да, играя с тре­тьей ко­ман­дой, 2 пар­тии про­иг­ра­ла и 4 свела вни­чью. Все ко­ман­ды на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство очков. Какое наи­мень­шее число иг­ро­ков могло быть в каж­дой ко­ман­де и как в этом слу­чае рас­пре­де­ли­лись места по ито­гам тур­ни­ра?