В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ребра основания равны 4, а боковые рёбра равны 5. Точка K — середина ребра B1C1, точка P лежит на ребре CC1 так, что 
а) Докажите, что прямые АР и РK перпендикулярны
б) Найдите угол между плоскостями АРK и САA1.
а) Произведем вычисления:
Заметим, что 
следовательно, треугольник AKP — прямоугольный, а прямые AP и PK перпендикулярны.
б) Из точки K на ребро A1C1 опустим перпендикуляр KL. Заметим, что отрезки KL и CC1 — перпендикулярны, следовательно, отрезок KL перпендикулярен плоскости CAA1. Таким образом, точка L — проекция точки K, а отрезок PL — отрезка PK на плоскость CAA1, треугольник KLP — прямоугольный. По теореме о трех перпендикулярах прямая PL перпендикулярна прямой AP. Следовательно, угол KPL — линейный угол двугранного угла между плоскостями APK и CAA1. Находим:
откуда 
следовательно, 
Ответ: б) 