Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, точки O1, O2, O3 центры вневписанных окружностей, касающихся сторон ВС, АС, АВ соответственно.
а) Докажите, что точка O является точкой пересечения высот треугольника O1O2O3.
б) Найдите угол А треугольника ABC, если отрезок OO1 короче отрезка O2O3 ровно в два раза.
а) Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла, поэтому центры вневписанных окружностей лежат на пересечении биссектрис внутреннего угла треугольника и двух внешних углов. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому
Аналогично O3С и O2B — высоты треугольника O1O2O3.
б) Рассмотрим прямоугольные треугольники O1O2B и O1O3С, в них
откуда следует, что треугольниками BO1C и O2O1O3 подобны, причем 
Отрезок OO1 — диаметр окружности, описанной около треугольника BCO1. По теореме синусов 
Тогда
откуда 
Значит,
следовательно, 
Ответ: б) 