Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 655789
i

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму всех зна­че­ний па­ра­мет­ра α, где 0 гра­ду­сов мень­ше альфа мень­ше 1000 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет хотя бы одно число x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , удо­вле­тво­ря­ю­щее урав­не­нию

1 плюс ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: альфа x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 67,5 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка | ко­си­нус Пи x минус синус Пи x| пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что левая часть урав­не­ния не мень­ше 1, а пра­вая  — не боль­ше 1. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 плюс ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: альфа x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 67,5 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =1, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка | ко­си­нус Пи x минус синус Пи x| пра­вая круг­лая скоб­ка =1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: альфа x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 67,5 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =0, ко­си­нус Пи x минус синус Пи x=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: альфа x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 67,5 гра­ду­сов = 90 гра­ду­сов плюс 180 гра­ду­сов k , Пи x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец си­сте­мы . n, k при­над­ле­жит Z .

Из урав­не­ния Пи x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n на­хо­дим: x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс n, n при­над­ле­жит Z . Зна­чит, су­ще­ству­ют толь­ко одно число x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , удо­вле­тво­ря­ю­щее ис­ход­но­му урав­не­нию. Это число  —   дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Под­ста­вим его в пер­вое урав­не­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы и найдём воз­мож­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра α:

дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 67,5 гра­ду­сов = 90 гра­ду­сов плюс 180 гра­ду­сов k рав­но­силь­но 5 альфа =180 гра­ду­сов плюс 8 умно­жить на 180 гра­ду­сов k рав­но­силь­но альфа = 36 гра­ду­сов плюс 288 гра­ду­сов k, k при­над­ле­жит Z .

Усло­вию 0 гра­ду­сов мень­ше альфа мень­ше 1000 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка удо­вле­тво­ря­ют че­ты­ре зна­че­ния па­ра­мет­ра, а имен­но 36°, 324°, 612° и 900°. Их сумма равна 1872°.

 

Ответ: 1872°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 458
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025