а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В тет­ра­эд­ре ABCD на реб­рах AD, DC, AB и BC от­ме­че­ны точки K, M, N и L со­от­вет­ствен­но. Точка О  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка KMLN. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния KMLN делит пло­щадь грани ABD в со­от­но­ше­нии 4 : 31.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость се­че­ния KMLN делит тет­ра­эдр ABCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Фаб­ри­ка по­лу­чи­ла заказ на из­го­тов­ле­ние 1005 де­та­лей типа 1 и 2010 де­та­лей типа 2. Каж­дый из 192 ра­бо­чих фаб­ри­ки за­тра­чи­ва­ет на из­го­тов­ле­ние двух де­та­лей типа 1 время, за ко­то­рое он мог бы из­го­то­вить одну де­таль типа 2. Каким об­ра­зом сле­ду­ет раз­де­лить ра­бо­чих фаб­ри­ки на две бри­га­ды, чтобы вы­пол­нить заказ за наи­мень­шее время, при усло­вии, что обе бри­га­ды при­сту­пят к ра­бо­те од­но­вре­мен­но и каж­дая из бри­гад будет за­ня­та из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей толь­ко од­но­го типа?

Точка E  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD тра­пе­ции ABCD, а точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. От­рез­ки CE и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка COD и че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD, если и

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму всех зна­че­ний па­ра­мет­ра α, где для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет хотя бы одно число удо­вле­тво­ря­ю­щее урав­не­нию

Для на­ту­раль­но­го числа n обо­зна­чим через ко­ли­че­ство чисел, мень­ших или рав­ных n и вза­им­но про­стых с n. Число n будем на­зы­вать хо­ро­шим, если оно де­лит­ся на

а)  Может ли хо­ро­шее число быть не­чет­ным?

б)  Чему равно наи­боль­шее зна­че­ние где число n хо­ро­шеe?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может иметь воз­рас­та­ю­щая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из хо­ро­ших чисел?