Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 655788
i

Точка E  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD тра­пе­ции ABCD, а точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. От­рез­ки CE и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка COD и че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD, если B C = 2 и A D = 5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть вы­со­та тра­пе­ции равна h. Тогда вы­со­та тре­уголь­ни­ка AMD, про­ве­ден­ная к AD, равна дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMD равна

S_AMD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на h умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =S_CED,

а по­то­му

S_AMOE=S_AMD минус S_OED=S_CED минус S_OED=S_COD.

б)  Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния лучей DM и CB. Тогда тре­уголь­ни­ки PBM и DAN равны, от­ку­да PB=5. Тре­уголь­ни­ки PCO и DEO по­доб­ны, при­чем

дробь: чис­ли­тель: PO, зна­ме­на­тель: OD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PC, зна­ме­на­тель: ED конец дроби =7: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: MD плюс MO, зна­ме­на­тель: MD минус MO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: MD, зна­ме­на­тель: MO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: OD, зна­ме­на­тель: MD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков DOE и DAM:

дробь: чис­ли­тель: S_DOE, зна­ме­на­тель: S_DAM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OD умно­жить на DE, зна­ме­на­тель: MD умно­жить на DA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10 умно­жить на 1, зна­ме­на­тель: 19 умно­жить на 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

Таким об­ра­зом,

S_AMOE= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби S_AMD= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7 умно­жить на h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби S_ABCD.

От­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AMOE к пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 19 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 655788: 679647 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 458
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025