ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 659130 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус косинус 4 x правая круглая скобка = 2 синус 2 x левая круглая скобка 1 плюс косинус 4 x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 6 Пи ; дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  По формуле косинуса двойного угла справедливы тождества

$1 минус косинус 4x = 2 синус в квадрате 2x,$

$1 плюс косинус 4x = 2 косинус в квадрате 2x,$

Подставляя, получаем:

$корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус косинус 4 x правая круглая скобка = 2 синус 2 x левая круглая скобка 1 плюс косинус 4 x правая круглая скобка равносильно 2 корень из 2 синус в квадрате 2x = 4 синус 2x косинус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 минус 2 синус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x = минус корень из 2 конец совокупности . \underset | синус 2x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, 2x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус косинус 4 x правая круглая скобка = 2 синус 2 x левая круглая скобка 1 плюс косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из 2 синус в квадрате 2x = 4 синус 2x косинус в квадрате 2x равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 минус 2 синус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x = минус корень из 2 конец совокупности . \underset | синус 2x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, 2x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус косинус 4 x правая круглая скобка = 2 синус 2 x левая круглая скобка 1 плюс косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из 2 синус в квадрате 2x = 4 синус 2x косинус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 минус 2 синус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x = минус корень из 2 конец совокупности . \underset | синус 2x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, 2x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус косинус 4 x правая круглая скобка = 2 синус 2 x левая круглая скобка 1 плюс косинус 4 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 корень из 2 синус в квадрате 2x = 4 синус 2x косинус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка 2 минус 2 синус в квадрате 2x минус корень из 2 синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x = минус корень из 2 конец совокупности . \underset | синус 2x| меньше или равно 1 \mathop равносильно совокупность выражений синус 2x = 0, синус 2x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, 2x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 6 Пи ; дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ при помощи тригонометрической окружности. Получим числа: $6 Пи ,$ $дробь: числитель: 49 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 51 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $7 Пи ,$ $дробь: числитель: 57 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 59 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $6 Пи ,$ $дробь: числитель: 49 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 51 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $7 Пи ,$ $дробь: числитель: 57 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 59 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 640279: 659130 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 465

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь