а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На реб­рах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды DABC от­ме­че­ны точки M и N так, что Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM делит пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Кон­стан­тин Кон­стан­ти­но­вич хочет по­ло­жить сумму денег в банк под про­цен­ты. Треть этой суммы он по­ме­ща­ет на вклад «Ра­дост­ный» под r% го­до­вых, а остав­шу­ю­ся часть  — на вклад «На­деж­ный» под q% го­до­вых. Про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся в конце года и до­бав­ля­ют­ся к сумме вкла­да. Через год сумма вкла­дов с уче­том про­цен­тов уве­ли­чи­лась на от пер­во­на­чаль­но­го зна­че­ния, а через два года со­ста­ви­ла 463 200 руб­лей. Если бы из­на­чаль­но треть суммы была по­ло­же­на на вклад «На­деж­ный», а остав­ши­е­ся сред­ства  — на вклад «Ра­дост­ный», то через год сумма вкла­дов с уче­том до­бав­лен­ных про­цен­тов уве­ли­чи­лась бы на от пер­во­на­чаль­ной. Чему в этом слу­чае была бы равна сумма вкла­дов через 2 года?

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AD. В тре­уголь­ни­ки ADC и ADB впи­са­ны окруж­но­сти с дли­на­ми ра­ди­у­сов 3 и 8 со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся от­рез­ка AD в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­кой D и цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей, если ND  =  ⁠4.

Най­ди­те все це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Олег за­ду­мал трех­знач­ное на­ту­раль­ное число n и по­счи­тал сумму его цифр s.

а)  Может ли

б)  Может ли

в)  Из­вест­но, что Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния