Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 659134
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AD. В тре­уголь­ни­ки ADC и ADB впи­са­ны окруж­но­сти с дли­на­ми ра­ди­у­сов 3 и 8 со­от­вет­ствен­но, ка­са­ю­щи­е­ся от­рез­ка AD в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­кой D и цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей, если ND  =  ⁠4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть точки O1 и O2  — цен­тры окруж­но­стей. Тогда DO1 и DO2  — бис­сек­три­сы углов CDA и BDA со­от­вет­ствен­но. Тогда

\angle O_1 DO_2 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle CDA плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle BDA = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 180 гра­ду­сов = 90 гра­ду­сов .

б)  За­ме­тим, что \angle NO_2D = 90 гра­ду­сов минус \angle NDO_2 = \angle MDO_1 . По­это­му тре­уголь­ни­ки O1DM и DO2N по­доб­ные. Сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: O_1 M , зна­ме­на­тель: ND конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MD , зна­ме­на­тель: O_2 N конец дроби , от­ку­да дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MD, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , то есть MD = 6.

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

O_1 D в квад­ра­те = 3 в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те = 45,

O_2 D в квад­ра­те = 4 в квад­ра­те плюс 8 в квад­ра­те = 80.

Таким об­ра­зом, O_1 O_2 в квад­ра­те = O_1 D в квад­ра­те плюс O_2 D в квад­ра­те = 125, от­ку­да O_1O_2 = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 465
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025