Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет четыре решения.
Система уравнений имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда графики первого и второго уравнений этой системы имеют ровно четыре общие точки. График функции 
получают сдвигом графика функции 
на 1 единицу вниз вдоль оси Oy и на |a| единиц вдоль оси Ox. Второе уравнение системы запишем в виде
Графиком второго уравнения системы является объединение частей парабол 
и 
построенных на отрезке [0; 2].
Пусть при 
и 
парабола 
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
и 
соответственно. Найдем 
касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при 
должен быть равен нулю дискриминант уравнения
Находим: 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Аналогично найдем 
дискриминант уравнения
равен 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Графики разномонотонных функций имеют не больше одной точки пересечения. Квадратичная функция выпукла, поэтому имеет с прямой не больше двух общих точек. Найденные точки касания 
и 
лежат на отрезке [0; 2]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, графики второго уравнения для случаев 
изображены зеленым и красным цветом).
При 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
Ответ: 