Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 4 различных решения.
Система уравнений имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда графики первого и второго уравнений этой системы имеют ровно четыре общие точки. График функции 
получают сдвигом графика функции 
на 4 единицы вниз вдоль
Графиком второго уравнения системы является объединение частей парабол 
построенных на отрезке [−8; 0].
Пусть при 
и 
парабола 
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
соответственно. Найдем 
касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при 
должен быть равен нулю дискриминант уравнения
Находим: 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Аналогично найдем 
дискриминант уравнения
равен 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Графики разномонотонных функций имеют не больше одной точки пересечения. Квадратичная функция выпукла, поэтому имеет с прямой не больше двух общих точек. Найденные точки касания 
и 
лежат на отрезке [−8; 0]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, зеленым и красным изображены графики второго уравнения для случаев 
При 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −5 и/или a = −3 | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (−5; −3) множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и лучей (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет четыре решения.
Система уравнений имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда графики первого и второго уравнений этой системы имеют ровно четыре общие точки. График функции 
получают сдвигом графика функции 
на 1 единицу вверх вдоль оси Oy и на |a| единиц вдоль оси Ox. Второе уравнение системы запишем в виде
Графиком второго уравнения системы является объединение частей парабол 
и 
построенных на отрезке [−2; 0].
Пусть при и парабола касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
и 
соответственно. Найдем касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при должен быть равен нулю дискриминант уравнения
Находим: 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию Следовательно, 
Аналогично найдем дискриминант уравнения
равен 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию Следовательно, 
Графики разномонотонных функций имеют не больше одной точки пересечения. Квадратичная функция выпукла, поэтому имеет с прямой не больше двух общих точек. Найденные точки касания и лежат на отрезке [−2; 0]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график второго уравнения, графики первого уравнения для случаев 
изображены зеленым и красным цветом).
При 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и лучей (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет четыре решения.
Система уравнений имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда графики первого и второго уравнений этой системы имеют ровно четыре общие точки. График функции 
получают сдвигом графика функции на 1 единицу вниз вдоль оси Oy и на |a| единиц вдоль оси Ox. Второе уравнение системы запишем в виде
Графиком второго уравнения системы является объединение частей парабол 
и 
построенных на отрезке [0; 2].
Пусть при и парабола 
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
и 
соответственно. Найдем касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при должен быть равен нулю дискриминант уравнения
Находим: 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию Следовательно, 
Аналогично найдем дискриминант уравнения
равен 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию Следовательно, 
Графики разномонотонных функций имеют не больше одной точки пересечения. Квадратичная функция выпукла, поэтому имеет с прямой не больше двух общих точек. Найденные точки касания и лежат на отрезке [0; 2]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, графики второго уравнения для случаев 
изображены зеленым и красным цветом).
При 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх