К двум окружностям радиусов 2 и 1 проведены внешние касательные AB и CD, причем точки A и C лежат на меньшей окружности, а точки B и D — на большей. Прямая AD пересекает меньшую окружность в точке N, а большую — в точке M.
а) Докажите, что AN = DM.
б) Найдите площадь треугольника ABD, если дополнительно известно, что точки M и N делят отрезок AD на три равные части.
а) Пусть точка P — точка пересечения прямых BA и OC. Точки O1 и O2 — центры окружностей. По свойству касательных PB = PD и PA = PC, следовательно, AB = CD. По теореме о квадрате касательной 
отсюда AM = DN, следовательно, 
отсюда AN = DM.
б) Прямые O1A и O2B параллельны и O2B = 2O1A, следовательно, отрезок O1A — средняя линия треугольника PBO2, откуда PA = AB. Пусть AN = MN = MD = x, тогда 
откуда 
Тогда 
По теореме косинусов для треугольника PAD получим:
Пусть 
Имеем: 
откуда 
тогда
отсюда 
Найдем косинус угла BAD:
Тогда синус угла BAD равен 
Найдем площадь треугольника ABD:
Ответ: 