а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

B ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диа­го­на­ля­ми пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся в точке О. Ребро AA₁ на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 45°, а вер­ши­на A₁ ор­то­го­наль­но про­еци­ру­ет­ся в точку O. Через точку A₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но бо­ко­вым реб­рам про­хо­дит плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью   — квад­рат.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость делит объем приз­мы.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на пять лет в раз­ме­ре 720 тыс. руб. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− в июле 2027, 2028 и 2029 долг остаётся рав­ным 720 тыс. руб.;

− вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны;

− к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

К двум окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 1 про­ве­де­ны внеш­ние ка­са­тель­ные AB и CD, при­чем точки A и C лежат на мень­шей окруж­но­сти, а точки B и D  — на боль­шей. Пря­мая AD пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке N, а боль­шую  — в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что AN  =  DM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что точки M и N делят от­ре­зок AD на три рав­ные части.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два корня.

Бес­ко­неч­ная не­по­сто­ян­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Если a₄  =  12, может ли a₄₂ де­лить­ся на 11?

б)  Может ли 6ыть a₁  =  13, если a₇₃ и a₉₅ де­лят­ся на 9?

в)  Пер­вый член про­грес­сии де­лит­ся 6ез остат­ка на 19, вто­рой  — на 23, тре­тий  — на 31. Чему равна наи­мень­шая воз­мож­ная раз­ность d этой про­грес­сии? Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние a₅ при наи­мень­шем воз­мож­ном зна­че­нии d.