Пусть пер­вый член про­грес­сии равен a, а раз­ность про­грес­сии d.

а)  За­ме­тим, что При по­лу­ча­ем крат­ное 11 число На­при­мер, можно взять про­грес­сию

б)  Имеем:

Най­ден­ное вы­ра­же­ние крат­но 9 толь­ко при d крат­ном 9. Зна­чит,

По­лу­чен­ная сумма не де­лит­ся на 9 ни при каких n. Про­ти­во­ре­чие.

в)  До­ка­жем, что можно взять Нужно, чтобы a₁ было крат­но 19, и да­ва­ло оста­ток 22 при де­ле­нии на 23 и оста­ток 29 при де­ле­нии на 31. Под­бе­рем такое a₁. За­ме­тим, что удо­вле­тво­ря­ет по­след­ним двум усло­ви­ям. Любое дру­гое под­хо­дя­щее a₁ долж­но от­ли­чать­ся от этого на число, крат­ное и 23, и 31, то есть крат­ное 713 (и по­то­му быть не мень­ше 91). Итак,

и тогда число де­лит­ся на 19. Ми­ни­маль­ное такое x  — это 8, по­это­му ми­ни­маль­ное a₁  — это Зна­чит,

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5799.