Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­ка­жем, что зна­ме­на­те­ли дро­бей в левой и пра­вой ча­стях урав­не­ния равны:

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но, чис­ли­те­ли равны, а по­то­му урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка не равно q 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка не равно q 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 = 0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус x не равно q Пи k конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 1, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не равно q дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи l, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи l, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , l при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

2 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4 Пи l, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2l, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 12 мень­ше или равно 8l мень­ше или равно 21 рав­но­силь­но целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 мень­ше или равно l мень­ше или равно целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 ,

чему удо­вле­тво­ря­ет целое l = 2. Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ко­рень  дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 Пи l, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : l при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 473
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы при­ве­де­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026