Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 669110
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 3 синус x минус 4, зна­ме­на­тель: синус x минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те x минус синус x конец дроби = 1.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть синус x = t, тогда по­лу­чим:

дробь: чис­ли­тель: 3t минус 4, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те минус t конец дроби = 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3t минус 4, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 1 = 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3t в квад­ра­те минус 4t плюс 1 минус левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус t пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те минус 3t плюс 1, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2t в квад­ра­те минус 3t плюс 1 = 0, t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = 1, t = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но t = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, имеем:

синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , с по­мо­щью двой­ных не­ра­венств:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно 2 Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2k мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 2k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k=0;

 

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n мень­ше или равно 2 Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2n мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 2n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби \underset n при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но n=0.

По­лу­чен­ным зна­че­ни­ям k, n со­от­вет­ству­ют корни дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а)   левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)   дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 474
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025