а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S на бо­ко­вом ребре SE от­ме­че­на точка K такая, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ACK делит ребра SF и SD по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость АСK делит объем пи­ра­ми­ды SABCDEF.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ин­ди­ви­ду­аль­ный пред­при­ни­ма­тель в те­че­ние не­сколь­ких дней еже­днев­но по­ку­пал в ма­га­зи­не одеж­ды 200 из­де­лий на сумму 158 тыс. руб­лей: джин­сы по 1000 руб. за штуку, ру­баш­ки  — по 800 руб. за штуку, сумки  — по 400 руб. за штуку. Най­ди­те мак­си­маль­ное число сумок, ко­то­рое могло быть куп­ле­но пред­при­ни­ма­те­лем в один из таких дней.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ рав­ных ра­ди­у­сов ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом и впи­са­ны в ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. Из­вест­но, что одна из окруж­но­стей ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в се­ре­ди­не.

а)  До­ка­жи­те, что один из углов тре­уголь­ни­ка ABC равен 30°.

б)  Окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ка­те­та AC в точке M, окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся ка­те­та BC в точке N. Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка MCNO₂O₁, если ра­ди­ус окруж­но­стей равен 1.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Ма­ги­че­ским квад­ра­том будем на­зы­вать квад­рат­ную таб­ли­цу за­пол­нен­ную де­вя­тью на­ту­раль­ны­ми од­но­знач­ны­ми чис­ла­ми таким об­ра­зом, что сумма чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и на обеих диа­го­на­лях была оди­на­ко­ва. Ма­ги­че­ский квад­рат на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным, если в его клет­ках по од­но­му разу стоят все числа от 1 до 9.

а)  В левом верх­нем углу ма­ги­че­ско­го квад­ра­та стоит число 8. Может ли в пра­вом ниж­нем углу сто­ять число 3?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет нор­маль­ных ма­ги­че­ских квад­ра­тов?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­ных ма­ги­че­ских квад­ра­тов?