Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 669116
i

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O1 и O2 рав­ных ра­ди­у­сов ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом и впи­са­ны в ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C. Из­вест­но, что одна из окруж­но­стей ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в се­ре­ди­не.

а)  До­ка­жи­те, что один из углов тре­уголь­ни­ка ABC равен 30°.

б)  Окруж­ность с цен­тром O1 ка­са­ет­ся ка­те­та AC в точке M, окруж­ность с цен­тром O2 ка­са­ет­ся ка­те­та BC в точке N. Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка MCNO2O1, если ра­ди­ус окруж­но­стей равен 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны r. Обо­зна­чим P  — се­ре­ди­на AB, Q  — точка ка­са­ния дру­гой окруж­но­сти с AB (см. рис.).

Пусть AQ  =  a, тогда тан­генс \angle O_1AQ = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: a конец дроби и тан­генс \angle O_2BP = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 2r плюс a конец дроби . За­ме­тим, что \angle O_1AQ плюс \angle O_2BP = 45 гра­ду­сов. По фор­му­ле тан­ген­са суммы по­лу­чим:

дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 2r плюс a конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2r плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби конец дроби = тан­генс 45 гра­ду­сов рав­но­силь­но r умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2r плюс a плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка = a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2r плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка минус r в квад­ра­те рав­но­силь­но a в квад­ра­те = 3r в квад­ра­те рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но, \angle O_1AQ = 30 гра­ду­сов, \angle CAB = 60 гра­ду­сов и \angle ABC = 30 гра­ду­сов.

 

б)  Из пунк­та а) имеем:

AQ = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но AB = 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ,

AC = AB умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

BC = AB умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3.

Тогда

S_ABC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 12 плюс 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

S_AMO_1Q = 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

S_BNO_2P = 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

S_O_1O_2QP = 1 умно­жить на 2 = 2.

Итак,

S_MCNO_2O_1 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 12 плюс 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 = дробь: чис­ли­тель: 4 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б)   дробь: чис­ли­тель: 4 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 474
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025