а)  Обо­зна­чим эле­мен­ты квад­ра­та, как по­ка­за­но на ри­сун­ке,

а сумму в каж­дой линии за s. Тогда:

Кроме того, от­ку­да что не­воз­мож­но при на­ту­раль­ном e.

б)  Сумма всех чисел в клет­ках квад­ра­та равна от­ку­да s  =  15, e  =  5. Можно пе­ре­чис­лить все суммы трех раз­лич­ных чисел, рав­ные 15. Это:

Этих сумм как раз во­семь, зна­чит, каж­дая из них яв­ля­ет­ся сум­мой на какой-⁠ни­будь линии. При этом уг­ло­вые клет­ки вхо­дят в три суммы, по­это­му в них стоят чет­ные числа (толь­ко они упо­мя­ну­ты три раза). По­ста­вить 8 можно в любую уг­ло­вую клет­ку, на­про­тив нее по­ста­вить 2, а потом двумя спо­со­ба­ми по­ста­вить осталь­ные чет­ные цифры по двум углам и уже од­но­знач­но за­пол­нить всю таб­ли­цу. По­лу­чат­ся 8 ва­ри­ан­тов, от­ли­ча­ю­щих­ся друг от друга толь­ко по­во­ро­та­ми и от­ра­же­ни­я­ми:

в)  Вы­бе­рем для на­ча­ла про­из­воль­но a, c, e. Тогда по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем: и при любых a, c, e квад­рат по­лу­ча­ет­ся с оди­на­ко­вы­ми сум­ма­ми, но, воз­мож­но, не с од­но­знач­ны­ми чис­ла­ми. Нужно вы­пол­не­ние сле­ду­ю­щих усло­вий:

Пе­ре­бе­рем ва­ри­ан­ты для e, от­ме­тив сразу, что если за­ме­нить каж­дую цифру в ма­ги­че­ском квад­ра­те ее до­пол­не­ни­ем до 10, то он оста­нет­ся ма­ги­че­ским. Зна­чит, ва­ри­ан­тов с столь­ко же, сколь­ко с Эти усло­вия сво­дят­ся к

Усло­вия и вы­пол­нят­ся ав­то­ма­ти­че­ски, по­сколь­ку, на­при­мер,

Усло­вия за­да­ют на плос­ко­сти (a, c) квад­рат с цен­тром в точке (e, e). Сде­лав за­ме­ну по­лу­чим квад­рат, за­дан­ный усло­ви­я­ми Его целые точки об­ра­зу­ют две вло­жен­ных друг в друга квад­рат­ных ре­шет­ки (см. рис.).

При e  =  1 ре­шет­ка всего одна и со­дер­жит одну точку.

При e  =  2 точек 4 + 1  =  5.

При e  =  3 точек 9 + 4  =  13.

При e  =  4 точек 16 + 9  =  25.

При e  =  5 точек 25 + 16  =  41.

По­это­му общий ответ:

Ответ: а)  нет; б)  8; в)  129.