Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD с острым углом A, равным 60°, а боковое ребро равно стороне основания. Через середины ребер A1D1, D1C1 и точку B проведена плоскость α.
а) Найдите отношение площади сечения призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α к площади основания призмы.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью DCC1.
а) Пусть прямая KL пересекает ребра A1B1 и B1C1 в точках M и N соответственно. Треугольники KD1L, LC1N и KA1M равны по стороне и двум углам. Пусть сторона ромба равна a. Тогда по теореме косинусов в треугольнике ABC:
Также получаем:
Треугольники MPK и MBN подобны с коэффициентом подобия 
значит,
Пусть h — высота треугольника MBN, проведенная из вершины B. Тогда:
откуда:
а тогда
Отношение площади сечения к площади основания равно 
б) Проведем прямую PP1 параллельно ребру A1D1 так, что точка P лежит на ребре DD1. Тогда P1D1LQC — проекция BPKLQ на плоскость CDD1C1. Значит, 
Заметим, что 
то есть 
Значит,
Косинус искомого угла равен
откуда 
Ответ: 
