а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD с ост­рым углом A, рав­ным 60°, а бо­ко­вое ребро равно сто­ро­не ос­но­ва­ния. Через се­ре­ди­ны ребер A₁D₁, D₁C₁ и точку B про­ве­де­на плос­кость α.

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α к пло­ща­ди ос­но­ва­ния приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью DCC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ко­опе­ра­тив «Крас­ный тру­же­ник», со­сто­я­щий из не­сколь­ких цехов, про­из­во­дя­щих од­но­тип­ную про­дук­цию, в 1925 году уве­ли­чил к концу года еже­днев­ный объем вы­пус­ка про­дук­ции на p₁ про­цен­тов по срав­не­нию с на­ча­лом года. Од­на­ко с пер­во­го дня 1926 года не­сколь­ко цехов, до­стиг­ших сум­мар­но к концу преды­ду­ще­го года еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка про­дук­ции, рав­но­го по­ло­ви­не еже­днев­но­го объ­е­ма вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции всего ко­опе­ра­ти­ва в на­ча­ле 1925 года, были за­кры­ты на ре­кон­струк­цию до на­ча­ла сле­ду­ю­ще­го года. Осталь­ные цеха уве­ли­чи­ли к концу 1926 года еже­днев­ный объем вы­пус­ка своей про­дук­ции на p₂ про­цен­тов по срав­не­нию с на­ча­лом этого года. Из­вест­но, что При каком зна­че­нии p₁ общий еже­днев­ный объем вы­пус­ка про­дук­ции ко­опе­ра­ти­ва к концу 1926 года будет иметь мак­си­маль­ное зна­че­ние?

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке ABCDEF через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CF в точке K и делит пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF в от­но­ше­нии 1 : 11.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AK делит диа­го­наль FC в от­но­ше­нии 1 : 5.

б)  Пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF окруж­ность в точке T. Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром пря­мая BT делит от­ре­зок AC.

Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых внут­ри лю­бо­го про­ме­жут­ка чис­ло­вой оси най­дут­ся ре­ше­ния не­ра­вен­ства

а)  Из по­сле­до­ва­тель­но­сти всех на­ту­раль­ных чисел вы­черк­нем все числа, де­ля­щи­е­ся на 3. Какое число в остав­шей­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти будет сто­ять на месте с но­ме­ром 1000?

б)  Сумма квад­ра­тов цифр трех­знач­но­го числа a де­лит­ся на 3, а сумма кубов его цифр не де­лит­ся на 3. Будет ли де­лить­ся на 3 про­из­ве­де­ние цифр числа a?

в)  У квад­рат­но­го урав­не­ния ко­эф­фи­ци­ен­ты p и q, а также корни x₁ и x₂ яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми, не де­ля­щи­ми­ся на 3. Какой оста­ток при де­ле­нии на 3 имеет число q?