а) Из последовательности всех натуральных чисел вычеркнем все числа, делящиеся на 3. Какое число в оставшейся последовательности будет стоять на месте с номером 1000?
б) Сумма квадратов цифр трехзначного числа a делится на 3, а сумма кубов его цифр не делится на 3. Будет ли делиться на 3 произведение цифр числа a?
в) У квадратного уравнения 
коэффициенты p и q, а также корни x1 и x2 являются натуральными числами, не делящимися на 3. Какой остаток при делении на 3 имеет число q?
а) Заметим, что среди первых 1500 чисел ровно 
кратны трем. Значит, если вычеркнуть все кратные трем числа среди чисел от 1 до 1500, останется как раз 1000 чисел. Последним из них будет 1499, поскольку 1500 кратно трем.
б) Заметим, что если a не кратно трем, то одно из чисел a – 1 и a + 1 кратно трем, поэтому 
кратно трем. Значит, a2 дает остаток 1 при делении на 3. Поэтому сумма трех квадратов цифр может быть кратна трем, если все числа кратны трем, или если все они не кратны трем. Первый вариант невозможен, поскольку тогда и сумма кубов цифр будет кратна трем. Значит, они все и их произведение не кратны трем.
в) Пусть корни уравнения — это x1, x2. Они не кратны трем, а кроме того, не могут давать различные остатки при делении на три, иначе 
будет кратно трем. Если же они дают одинаковые остатки, то 
дает остаток либо 
либо 
то есть тоже 1. Остатка 4 быть не может.
Ответ: а) 1499; б) нет; в) 1.