В правильном шестиугольнике ABCDEF через вершину A проведена прямая, которая пересекает отрезок CF в точке K и делит площадь шестиугольника ABCDEF в отношении 1 : 11.
а) Докажите, что прямая AK делит диагональ FC в отношении 1 : 5.
б) Прямая AK пересекает описанную около шестиугольника ABCDEF окружность в точке T. Найдите отношение, в котором прямая BT делит отрезок AC.
а) Пусть сторона шестиугольника равна a, тогда
Пусть прямая AK пересекает сторону FE в точке P. Тогда, если 
то 
значит, точка P — середина ребра EF. Следовательно, точка K — точка пересечения медиан треугольника AFE. Пусть также точка L — середина отрезка AE, тогда
Далее, 
и 
б) По теореме косинусов в треугольнике AFP:
Далее,
откуда 
и 
Тогда по теореме косинусов в треугольнике ABT:
Заметим, что треугольники ABM и TBA подобны по двум углам, откуда 
и
По теореме косинусов в треугольнике ABC:
Наконец,
и
Ответ: б) 4 : 5.