Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На стороне LM равностороннего треугольника KLM выбрана точка S, серединный перпендикуляр к отрезку KS пересекает сторону KМ в точке Q, а сторону KL — в точке P.
а) Докажите, что углы LSP и SQM равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников LSP и SQM, если SM : SL = 2 : 3.
Решение.
Спрятать критерии
а) Заметим, что в треугольниках KPS и KQS медиана совпадает с высотой, то есть KP = PS и KQ = QS. Пусть 
тогда 
и по теореме о внешнем угле:
б) Пусть 
тогда 
Треугольники LSP и MQS подобны по двум углам. Пощади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, который равен отношению периметров. Последовательно получаем:
Ответ: 
Методы геометрии: Симметрия в решениях, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Равносторонний треугольник, Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур