На стороне AC равностороннего треугольника ABC взяли точку M. Серединный перпендикуляр к BM пересекает AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что углы AEM и KMC равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и MKC, если 
Пусть 
Тогда 
и 
По теореме косинусов:
Треугольник ABC равносторонний. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K.
а) Доказать что угол AEM равен углу CMK.
б) Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если 
Выразим угол CMK:
На стороне LM равностороннего треугольника KLM выбрана точка S, серединный перпендикуляр к отрезку KS пересекает сторону KМ в точке Q, а сторону KL — в точке P.
а) Докажите, что углы LSP и SQM равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников LSP и SQM, если SM : SL = 2 : 3.
тогда 
и по теореме о внешнем угле:
тогда 
Треугольники LSP и MQS подобны по двум углам. Пощади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, который равен отношению периметров. Последовательно получаем:
