Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 674439
i

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 24. На сто­ро­нах AB и BC от­ме­че­ны точки E и F со­от­вет­ствен­но так, что BE : EA  =  BF : FC  =  3 : 1. Пря­мая EF ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник.

а)  До­ка­жи­те, что AC  =  3.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если \angle ACB = 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Че­ты­рех­уголь­ник AEFC опи­сан около окруж­но­сти, по­это­му AE плюс FC = AC плюс EF. Тре­уголь­ни­ки BEF и BAC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Зна­чит,

AE = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AB,

FC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби BC,

EF = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC.

Сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AB плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби BC = AC плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AB плюс BC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 24, по­это­му AB плюс BC = 24 минус AC, от­ку­да по­лу­ча­ем

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 24 минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC рав­но­силь­но AC = 3.

б)  Пусть BC  =  x. Тогда по­лу­ча­ем AB = 21 минус x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те = AB в квад­ра­те рав­но­силь­но 9 плюс x в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 21 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 9 плюс x в квад­ра­те = x в квад­ра­те минус 42x плюс 441,

от­ку­да на­хо­дим x = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Зна­чит, BC = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , и пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна S = дробь: чис­ли­тель: AC умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 108, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 108, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 660765: 660915 674439 674808 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025