ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 674825 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $750 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 3x правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Преобразуем уравнение:

$750 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 3x правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 умножить на 5 в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3 косинус 3x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 6 умножить на 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 умножить на 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 3 косинус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 6 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка = 25 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка , 25 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка = 30 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 3x = 0, косинус 3x = логарифм по основанию левая круглая скобка 25 правая круглая скобка 30 больше 1 конец совокупности . равносильно 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$ $750 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 3x правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 умножить на 5 в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3 косинус 3x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 6 умножить на 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 умножить на 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 3 косинус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 6 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка = 25 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка , 25 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка = 30 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 3x = 0, косинус 3x = логарифм по основанию левая круглая скобка 25 правая круглая скобка 30 больше 1 конец совокупности . равносильно 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$ $750 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 3x правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 умножить на 5 в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс 3 косинус 3x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 6 умножить на 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 умножить на 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 3 косинус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2 косинус 3x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 6 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка = 25 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка , 25 в степени левая круглая скобка косинус 3x правая круглая скобка = 30 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус 3x = 0, косинус 3x = логарифм по основанию левая круглая скобка 25 правая круглая скобка 30 больше 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Получаем корни $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 491

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения и неравенства

Методы алгебры: Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь