Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 674830
i

В тре­уголь­ни­ке АВС вы­со­та СН и ме­ди­а­на CK делят угол АСВ на три рав­ных угла. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна  1,5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AH  =  HM  =  x, BM  =  2x, CH  =  y. По свой­ству бис­сек­три­сы дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: CH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BM, зна­ме­на­тель: MH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби , то есть BC  =  2y. Из ра­вен­ства CH в квад­ра­те плюс BH в квад­ра­те = BC в квад­ра­те по­лу­ча­ем:

y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x.

Тогда

AC в квад­ра­те = x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те = 4x в квад­ра­те ,

BC в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 12x в квад­ра­те .

Зна­чит,

AC в квад­ра­те плюс CB в квад­ра­те = 4x в квад­ра­те плюс 12x в квад­ра­те = 16x в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = AB в квад­ра­те ,

от­ку­да по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, \angle ACB = 90 гра­ду­сов.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

S_ABC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2x умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x в квад­ра­те = 1,5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

От­сю­да x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Най­дем по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка:

p = дробь: чис­ли­тель: AC плюс CB плюс AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 4x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 3x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x.

По фор­му­ле S  =  pr най­дем

r = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =
= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 491
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025