На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
а) Да, например, тройка чисел 3435, 15 и 6. Их сумма равна 3456.
б) Нет. Как известно, число и его сумма цифр дают одинаковые остатки от деления на 3, поэтому итоговая сумма трех чисел с одинаковыми остатками должна быть кратна 3, но 2345 не кратно трем.
в) Сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, а из таких чисел сумму цифр 5 имеют только 14, 23 и само число 5, но по условию числа различны. Такое число должно давать остаток 5 при делении на 9 — среди чисел от 100 до 999 таких ровно 900 : 9 = 100. Осталось отбросить числа с суммой цифр, равной 5. Найдем их. Выпишем все наборы цифр с такой суммой и выясним, сколько различных чисел из них можно составить.
5, 0, 0 — 1 число
4, 1, 0 — 4 числа
3, 2, 0 — 4 числа
3, 1, 1 — 3 числа
2, 2, 1 — 3 числа
Итого 15 чисел, а остальные 100 – 15 = 85 чисел подходят.
Ответ: а) да, б) нет, в) 85.