а)  Да, на­при­мер, для числа 398 по­лу­чим 398 + 20 + 2  =  420.

б)  Нет. Число и его сумма цифр дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 3, по­это­му сумма трех таких чисел все­гда крат­на трем, число 419 трем не крат­но.

в)  По­сколь­ку число трех­знач­ное, его сумма цифр не пре­вос­хо­дит 27, зна­чит, она долж­на быть равна 14 или 23. Пе­ре­фор­му­ли­ру­ем: под­хо­дят все трех­знач­ные числа с остат­ком 5 при де­ле­нии на 9, кроме тех, у ко­то­рых сумма цифр 5.

Эти числа равны 11 · 9 + 5  =  104, 12 · 9 + 5  =  113, ..., 110 · 9 + 5  =  995. То есть всего име­ет­ся 110 − 11 + 1  =  100 трех­знач­ных чисел с нуж­ным остат­ком от де­ле­ния на 9. Оста­лось вы­ки­нуть числа с сум­мой цифр 5.

Из цифр 5, 0, 0 можно со­ста­вить одно такое трёхзнач­ное число.

Из цифр 4, 1, 0 можно со­ста­вить че­ты­ре таких трёхзнач­ных числа.

Из цифр 3, 2, 0 можно со­ста­вить че­ты­ре таких трёхзнач­ных числа.

Из цифр 3, 1, 1 можно со­ста­вить три таких числа.

Из цифр 2, 2, 1 можно со­ста­вить три таких числа.

Дру­гих на­бо­ров с сум­мой 5 нет. Итого: 100 − 1 − 4 − 4 − 3 − 3  =  85 чисел.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  85.

При­ведём ре­ше­ние пунк­та б) Ели­за­ве­ты Зе­ле­нень­кой (Москва).

б)  Пред­ста­вим пер­вое число в сле­ду­ю­щем виде: x₁  =  100a + 10b + c. Тогда вто­рое число x₂  =  a + b + c  =  10d + h, от­сю­да h  =  a + b + c − 10d. Тре­тье число х₃  =  d + h. За­пи­шем сумму всех трех чисел:

За­ме­ним h на a + b + c − 10d:

За­ме­тим, что 102, 12, 3 и −9 де­лят­ся на три, зна­чит, вся сумма де­лит­ся на 3.

При­ведём ре­ше­ние пунк­та в) Яро­сла­ва Бе­счаст­но­го.

в)  Если по­след­нее число равно 5, то сумма цифр вто­ро­го числа равна 5. Так как пер­вое число трех­знач­ное, его мак­си­маль­ная сумма цифр равна 27, зна­чит, вто­рое число либо 14, либо 23. Пе­ре­бе­рем все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.

1 слу­чай. Если х₂  =  14, то a + b + c  =  14.

Если а  =  9, то b + c  =  5 (все пары (b; c): (5; 0), (4; 1), (3; 2), (2; 3), (1; 4), (0; 5))  — 6 ва­ри­ан­тов. Даль­ше ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов будет уве­ли­чи­вать­ся на 1:

Если а  =  8, то b + c  =  6  — 7 ва­ри­ан­тов: (6; 0), (5; 1), (4; 2), (3; 3), (2; 4), (1; 5), (0; 6).

Если а  =  7, то b + c  =  7  — 8 ва­ри­ан­тов: (7; 0), (6; 1), (5; 2), (4; 3), (3; 4), (2; 5), (1; 6), (0; 7).

Если а  =  6, то b + c  =  8  — 9 ва­ри­ан­тов.

Если а  =  5, то b + c  =  9  — 10 ва­ри­ан­тов. Даль­ше ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов будет умень­шать­ся, т. к. b, с ⩽ 9.

Если а  =  4, то b + c  =  10  — 9 ва­ри­ан­тов.

Если а  =  3, то b + c  =  11  — 8 ва­ри­ан­тов.

Если а  =  2, то b + c  =  12  — 7 ва­ри­ан­тов.

Если а  =  1, то b + c  =  13  — 6 ва­ри­ан­тов.

Всего будет 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6  =  70 ва­ри­ан­тов.

2 слу­чай. Если х₂  =  23, то a + b + c  =  23.

Если а  =  9, то b + c  =  14 (все пары (b; c): (9; 5), (8; 6), (7; 7), (6; 8), (5; 9))  — 5 ва­ри­ан­тов.

Если а  =  8, то b + c  =  15  — 4 ва­ри­ан­та.

Если а  =  7, то b + c  =  16  — 3 ва­ри­ан­та.

Если а  =  6, то b + c  =  17  — 2 ва­ри­ан­та.

Если а  =  5, то b + c  =  18  — 1 ва­ри­ант.

Если а  =  4, то b + c  =  19  — нет ва­ри­ан­тов.

Всего будет 5 + 4 + 3 + 2 + 1  =  15 ва­ри­ан­тов.

Итого: 70 + 15  =  85 ва­ри­ан­тов.

а)  Да, на­при­мер, для числа 2009 по­лу­чим 2009 + 11 + 2  =  2022.

б)  Нет. Число и его сумма цифр дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 9. По­это­му сумма трех таких чисел все­гда крат­на 3, в от­ли­чие от числа 2021.

в)  По­сколь­ку число трех­знач­ное, сумма его цифр не пре­вос­хо­дит 27. Зна­чит, она долж­на быть равна 11 или 20. Пе­ре­фор­му­ли­ру­ем за­да­чу: най­дем все трех­знач­ные числа с остат­ком 2 при де­ле­нии на 9, кроме тех, у ко­то­рых сумма цифр 2. Эти числа равны 11 · 9 + 2  =  101, 12 · 9 + 2  =  110, ..., 110 · 9 + 2  =  992. То есть всего име­ет­ся 110 − 11 + 1  =  100 трех­знач­ных чисел с нуж­ным остат­ком от де­ле­ния на 9. Оста­лось вы­ки­нуть числа с сум­мой цифр 2. Это числа 110, 101, 200. Итого 100 − 3  =  97 чисел.

Ответ: а) да, б) нет, в) 97.

а)  Да, на­при­мер, трой­ка чисел 3435, 15 и 6. Их сумма равна 3456.

б)  Нет. Как из­вест­но, число и его сумма цифр дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3, по­это­му ито­го­вая сумма трех чисел с оди­на­ко­вы­ми остат­ка­ми долж­на быть крат­на 3, но 2345 не крат­но трем.

в)  Сумма цифр трех­знач­но­го числа не пре­вос­хо­дит 27, а из таких чисел сумму цифр 5 имеют толь­ко 14, 23 и само число 5, но по усло­вию числа раз­лич­ны. Такое число долж­но да­вать оста­ток 5 при де­ле­нии на 9  — среди чисел от 100 до 999 таких ровно 900 : 9  =  100. Оста­лось от­бро­сить числа с сум­мой цифр, рав­ной 5. Най­дем их. Вы­пи­шем все на­бо­ры цифр с такой сум­мой и вы­яс­ним, сколь­ко раз­лич­ных чисел из них можно со­ста­вить.

Итого 15 чисел, а осталь­ные 100 – 15  =  85 чисел под­хо­дят.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  85.