Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 676804
i

В пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вые рёбра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а AB = BC = AC = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­да SABC пра­виль­ная.

б)  На рёбрах SA и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём дробь: чис­ли­тель: SK, зна­ме­на­тель: KA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SM, зна­ме­на­тель: MC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны S пи­ра­ми­ды до плос­ко­сти BKM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ках ASB, ASC и SCB со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

SA в квад­ра­те плюс SB в квад­ра­те = AB в квад­ра­те = 50,

SA в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те = AC в квад­ра­те = 50,

SB в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те = 50.

Сле­до­ва­тель­но,

SA в квад­ра­те плюс SB в квад­ра­те плюс SA в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те плюс SB в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те = 150 рав­но­силь­но SA в квад­ра­те плюс SB в квад­ра­те плюс SC в квад­ра­те = 75,

от­ку­да сле­ду­ет, что SA в квад­ра­те = SB в квад­ра­те = SC в квад­ра­те = 25, то есть бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны, а в ее ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник. Такая пи­ра­ми­да на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной.

 

б)  Из преды­ду­ще­го пунк­та оче­вид­но, что SA = SB = SC = 5. Из усло­вия SK = SM = 1. Тогда V_SKMB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 умно­жить на 5 = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке BKM

BM = BK = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та ,

KM = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной в тре­уголь­ни­ке BMK к сто­ро­не MK, равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 51, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Сле­до­ва­тель­но,

S_BMK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 51, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SKMB, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны S. Тогда дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на h умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то есть h = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 51 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 51 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 676804: 676824 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026