Плоскость α, содержащая диагональ BD грани куба ABCDA1B1C1D1, пересекает ребро B1C1 и делит площадь боковой поверхности куба в отношении 2 : 1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро B1C1 в отношении 2 : 1, считая от вершины B1.
б) В каком отношении плоскость α делит объем куба?
а) Пусть плоскость α пересекает ребро B1C1 в точке P. Продлим прямую BP до пересечения с продолжением ребра CC1 в точке T. Проведем прямую DT, пусть она пересечет ребро C1D1 в точке Q (см. рис.). Тогда четырехугольник BPQD — сечение куба плоскостью α. Пусть 
тогда
откуда 
Далее,
Полученная площадь по условию равна трети от общей плоскости боковой поверхности куба. Следовательно,
откуда и следует, 
б) Найдем объем усеченной пирамиды BCDPC1Q:
Объем куба равен 
Следовательно, объемы частей относятся как
Ответ: б) 13 : 41.