а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Плос­кость α со­дер­жа­щая диа­го­наль BD грани куба ABCDA₁B₁C₁D₁, пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ и делит пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти куба в от­но­ше­нии 2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро B₁C₁ в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от вер­ши­ны B₁.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит объем куба?

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Кли­ент сде­лал два вкла­да на оди­на­ко­вую сумму под r% го­до­вых (про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся в конце года и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да). В пер­вом банке через год про­цент­ную став­ку сни­зи­ли до 20% го­до­вых, в то время как вто­рой банк оста­вил про­цент­ную став­ку без из­ме­не­ний. Най­ди­те, при каком наи­мень­шем целом зна­че­нии r через три года сумма во вто­ром банке хотя бы на 10% пре­вы­сит сумму в пер­вом банке.

Дан угол ве­ли­чи­ной 120° с вер­ши­ной C. Вне угла на про­дол­же­нии его бис­сек­три­сы взята точка O так, что С цен­тром в точке O по­стро­е­на окруж­ность ра­ди­у­са 1, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны угла в точ­ках A и B.

а)  До­ка­жи­те, что OC  =  BC  =  CA.

б)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной сто­ро­на­ми угла и дугой окруж­но­сти, за­клю­чен­ной между ними.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, такие, что каж­дый ко­рень урав­не­ния яв­ля­ет­ся кор­нем дан­но­го урав­не­ния толь­ко при одном зна­че­нии па­ра­мет­ра.

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число ин­те­рес­ным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. На­при­мер, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а)  При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна пяти.

б)  Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 91?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее нечётное число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа.