На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?
в) Найдите наибольшее возможное значение k.
а) Да, например, среди чисел в диапазоне от 29 до 116 числа 50, 75 и 100 кратны 25, а числа 29, 58, 87, 116 кратны 29.
б) Нет. Разобьем все числа на группы по 25, начиная с первого числа. Тогда в каждой группе будет ровно одно число, кратное 25. Заметим, что последняя группа возможно будет неполной и/или не будет содержать число, кратное 25. Значит, общее количество чисел не превосходит 
Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 29. Пусть это 29x и 29y Тогда 
—
что невозможно для 274 чисел.
в) Пусть среди данных чисел есть x кратных 25, тогда общее количество чисел не больше 25x + 24 (см. пункт б). C другой стороны, разность между крайними числами, кратными 29, должна быть не менее 29x, поэтому общее количество чисел не меньше 29x + 1. Имеем:
то есть 
Взять 149 чисел можно. Например, подойдут числа от 26 до 174 — среди них 6 чисел кратны 29 и 5 чисел кратны 25.
Ответ: а) да, б) нет, в) 149.