а)  Да, на­при­мер, среди чисел в диа­па­зо­не от 69 до 138 числа 80, 100 и 120 крат­ны 20, а числа 69, 92, 115, 138 крат­ны 23.

б)  Нет. Разо­бьем все числа на груп­пы по 20, на­чи­ная с пер­во­го числа. Тогда в каж­дой груп­пе будет ровно одно число, крат­ное 20. За­ме­тим, что по­след­няя груп­па, воз­мож­но, будет не­пол­ной и/или не будет со­дер­жать число, крат­ное 20. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство чисел не пре­вос­хо­дит Те­перь рас­смот­рим край­ние числа, крат­ные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда (иначе чисел не 11), и что не­воз­мож­но для 219 чисел.

в)  Пусть среди дан­ных чисел есть x чисел, крат­ных 20. Тогда со­глас­но пунк­ту б) общее ко­ли­че­ство чисел не боль­ше 20x + 19. C дру­гой сто­ро­ны, раз­ность между край­ни­ми чис­ла­ми, крат­ны­ми 23, долж­на быть не менее 23x, по­это­му общее ко­ли­че­ство чисел не мень­ше 23x + 1. Имеем:

то есть

Взять 139 чисел можно. На­при­мер, по­дой­дут числа от 161 до 299  — среди них 6 чисел крат­ны 20 и 7 чисел крат­ны 23.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  139.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На доске за­пи­са­но k по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел. Ока­за­лось, что среди них чисел, де­ля­щих­ся на 20, мень­ше, чем чисел, де­ля­щих­ся на 23.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно три числа, де­ля­щих­ся на 20?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно де­сять чисел, де­ля­щих­ся на 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние k.

а)  Да, на­при­мер, среди чисел в диа­па­зо­не от 69 до 138 числа 80, 100 и 120 крат­ны 20, а числа 69, 92, 115, 138 крат­ны 23.

б)  Нет. Разо­бьем все числа на груп­пы по 20, на­чи­ная с пер­во­го числа. Тогда в каж­дой груп­пе будет ровно одно число, крат­ное 20. За­ме­тим, что по­след­няя груп­па, воз­мож­но, будет не­пол­ной и/или не будет со­дер­жать число, крат­ное 20. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство чисел не пре­вос­хо­дит Те­перь рас­смот­рим край­ние числа, крат­ные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда (иначе чисел не 11), и что не­воз­мож­но для 219 чисел.

в)  Пусть среди дан­ных чисел есть x чисел, крат­ных 20. Тогда со­глас­но пунк­ту б) общее ко­ли­че­ство чисел не боль­ше 20x + 19. C дру­гой сто­ро­ны, раз­ность между край­ни­ми чис­ла­ми, крат­ны­ми 23, долж­на быть не менее 23x, по­это­му общее ко­ли­че­ство чисел не мень­ше 23x + 1. Имеем:

то есть

Взять 139 чисел можно. На­при­мер, по­дой­дут числа от 161 до 299  — среди них 6 чисел крат­ны 20 и 7 чисел крат­ны 23.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  139.