ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 681237 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=4 x минус 3\left|x плюс a в квадрате | плюс |x минус 1| плюс 3 a в квадрате ,$ тогда уравнение примет вид

$t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка t плюс 4=0. левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4 x минус 3\left|x плюс a в квадрате | плюс |x минус 1| плюс 3 a в квадрате ,$ раскроем модули

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = система выражений 6x плюс 6a в квадрате плюс 1 , при x меньше минус a в квадрате 1 , при минус a в квадрате меньше или равно x меньше или равно 1, 2x минус 1, при x больше 1. конец системы .$

Функция  f возрастает на $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус a в квадрате правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Следовательно, каждое значение, не равное 1, принимает ровно один раз, и каждому значению $f не равно 1$ соответствуeт ровно одно значение x, а значению $f=1$   — бесконечное число значений x. Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (⁎) имело два различных корня ( $D больше 0$ ), ни один из которых не равен 1. Получим:

$система выражений левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16 больше 0, 1 в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка умножить на 1 плюс 4 не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a меньше минус 5, a больше 3, конец системы . a не равно 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a меньше минус 5, 3 меньше a меньше 4, a больше 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3 ; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 681236: 681237 681238 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города, вариант 2

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства с параметром, Модуль числа, модуль выражения

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь