Любые два на­пи­сан­ных числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 4 или 7: если взять три или шесть дру­гих чисел и до­ба­вить к ним одно из этих двух, то в обоих слу­ча­ях сумма будет крат­на 4 или 7, зна­чит, у за­ме­ня­ю­щих друг друга чисел оди­на­ко­вые остат­ки. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность любых двух чисел крат­на 4 и 7, а по­то­му и их наи­мень­ше­му об­ще­му крат­но­му  — 28. Зна­чит, все числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 28. На­про­тив, если у всех чисел остат­ки оди­на­ко­вы, то сумма че­ты­рех или семи из них будет крат­на 4 или 7.

а)  Число 563 при де­ле­нии на 28 дает оста­ток 3, а число 1417  — оста­ток 17, по­это­му они не под­хо­дят.

б)  За­ме­тим, что квад­ра­ты чет­ных чисел крат­ны 4, а квад­ра­ты не­чет­ных пред­ста­ви­мы в виде Сле­до­ва­тель­но, n² не может при де­ле­нии на 4 да­вать оста­ток 3, а имен­но такой оста­ток дает число 563.

в)  Нужно, чтобы и n да­ва­ли оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 28, то есть чтобы было крат­но 28. Число 1 яв­ля­ет­ся наи­мень­шим на­ту­раль­ным чис­лом и удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию. В ка­че­стве осталь­ных де­вя­ти чисел можно взять числа

да­ю­щие при де­ле­нии на 28 оста­ток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

При­ме­ча­ние.

Про­ве­ря­ю­щим ЕГЭ экс­пер­там были при­сла­ны ре­ше­ния, под­ра­зу­ме­ва­ю­щие, что число и его квад­рат долж­ны быть раз­лич­ны­ми. В этом слу­чае наи­мень­шим ис­ко­мым чис­лом яв­ля­ет­ся 13. При­ве­дем со­от­вет­ству­ю­щее рас­суж­де­ние.

в)  Тре­бу­ет­ся, чтобы n² при де­ле­нии на 28 также да­ва­ло в остат­ке 1, то есть чтобы было крат­но 28. За­ме­тим, что один из мно­жи­те­лей дол­жен быть чет­ным, что по­вле­чет за собой чет­ность вто­ро­го, по­сколь­ку они от­ли­ча­ют­ся на 2. Более того, один из мно­жи­те­лей дол­жен на­це­ло де­лить­ся на 7. Ми­ни­маль­ное на­ту­раль­ное чет­ное число, крат­ное 7  — это 14, от­ку­да n  =  13. В ка­че­стве при­ме­ра можно вы­брать числа 1, 169  =  13² и еще 8 любых дру­гих чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 28 оста­ток 1.