ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Тип 19 № 681322 Добавить в вариант

i

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение.

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 567.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа

1,

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 29 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 29 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 8. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. Число 1 не подходит, поскольку рано своему квадрату. При $n=7$ произведение равно 42, оно не кратно 28. При $n=8$ произведение равно 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n равно 8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.

Отметим также, что в Москве единицу в пункте в) эксперты засчитывали как верный ответ, а в Вологде неукоснительно следовали присланным решениям и не засчитывали. И на апелляции не засчитали. См. также обсуждение в комментариях ниже.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 681322: 681255 681323 681573 ...681255 681323 681573 685391 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Сибирь;

Задания 19 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города, вариант 2.

Решение · Критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 681255 Добавить в вариант

i

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б)  Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в)  Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и n².

Решение.

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 563 при делении на 28 дает остаток 3, а число 1417  — остаток 17, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа

1,

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 28 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 28 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 13. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Требуется, чтобы n² при делении на 28 также давало в остатке 1, то есть чтобы $n в квадрате минус 1 = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Заметим, что один из множителей должен быть четным, что повлечет за собой четность второго, поскольку они отличаются на 2. Более того, один из множителей должен нацело делиться на 7. Минимальное натуральное четное число, кратное 7  — это 14, откуда n  =  13. В качестве примера можно выбрать числа 1, 169  =  13² и еще 8 любых других чисел, дающих при делении на 28 остаток 1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 681322: 681255 681323 681573 ...681255 681323 681573 685391 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Центр;

Задания 19 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города, вариант 1.

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 19 № 681323 Добавить в вариант

i

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или шести чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 602 и 1512?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 602?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат n² натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 567.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа

1,

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 29 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 29 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 8. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. Число 1 не подходит, поскольку рано своему квадрату. При $n=7$ произведение равно 42, оно не кратно 28. При $n=8$ произведение равно 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n равно 8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.

Отметим также, что в Москве единицу в пункте в) эксперты засчитывали как верный ответ, а в Вологде неукоснительно следовали присланным решениям и не засчитывали. И на апелляции не засчитали. См. также обсуждение в комментариях ниже.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 681322: 681255 681323 681573 ...681255 681323 681573 685391 Все

Источники:

Задания 19 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города.

Критерии · Видеокурс

Тип 19 № 681573 Добавить в вариант

i

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а)  Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 563?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 567.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа

1,

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 29 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 29 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 8. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. Число 1 не подходит, поскольку рано своему квадрату. При $n=7$ произведение равно 42, оно не кратно 28. При $n=8$ произведение равно 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n равно 8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.

Отметим также, что в Москве единицу в пункте в) эксперты засчитывали как верный ответ, а в Вологде неукоснительно следовали присланным решениям и не засчитывали. И на апелляции не засчитали. См. также обсуждение в комментариях ниже.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 681322: 681255 681323 681573 ...681255 681323 681573 685391 Все

Критерии · Видеокурс

Тип 19 № 685391 Добавить в вариант

i

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n². Найдите наименьшее возможное значение n.

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.

б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $левая круглая скобка 4x \pm 1 правая круглая скобка в квадрате = 16x в квадрате \pm 8x плюс 1.$ Следовательно, n² не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 567.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа

1,

$29 = 28 умножить на 1 плюс 1,$

$57 = 29 умножить на 2 плюс 1,$

$85 = 29 умножить на 3 плюс 1$

$\ldots,$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.

Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 8. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Нужно, чтобы $n в квадрате$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n в квадрате минус n=n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. Число 1 не подходит, поскольку рано своему квадрату. При $n=7$ произведение равно 42, оно не кратно 28. При $n=8$ произведение равно 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n равно 8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.

Отметим также, что в Москве единицу в пункте в) эксперты засчитывали как верный ответ, а в Вологде неукоснительно следовали присланным решениям и не засчитывали. И на апелляции не засчитали. См. также обсуждение в комментариях ниже.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 681322: 681255 681323 681573 ...681255 681323 681573 685391 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2026 по математике. Профильный уровень

Критерии · Видеокурс