На ребрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL : LC = AM : MB = AN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки L, M и N, делит ребро CD в отношении 3 : 1, считая от вершины C.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если AB = 20.
а) Продлим прямую LM до пересечения с продолжением ребра AC в точке F. Из точки F проведем прямую FN до пересечения с ребром CD в точке P. Тогда четырехугольник MNPL — сечение тетраэдра плоскостью α. По теореме Менелая для прямой PN и треугольника ADC получаем:
По теореме Менелая для прямой LM и треугольника ABC получаем:
Треугольники FAN и FAM равны по двум сторонам и углу между ними, а потому 
Из полученных отношений и равенства отрезков находим требуемое отношение:
б) В треугольниках CPL и CDB угол C — общий, а стороны пропорциональны: 
Значит, эти треугольники подобны, отрезок PL параллелен ребру DB, 
Аналогично получаем из треугольников ANM и ADB, что отрезок MN параллелен ребру DB и равен 5. Отрезки ML и NP равны как соответственные элементы равных треугольников NDP и MBL. Найдем их длины по теореме косинусов:
Таким образом, четырехугольник MNPL — равнобокая трапеция. Опустим из ее вершины высоту MH, длину которой найдем из прямоугольного треугольника MKL по теореме Пифагора:
Вычислим площадь трапеции:
Ответ: 