а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны 19 раз число 50 и 1 раз число 10 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 48, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 11.

б)  Пусть x  — ко­ли­че­ство стёртых чисел, а y  — ко­ли­че­ство про­чих уве­ли­чи­ва­е­мых чисел. Тогда пер­во­на­чаль­но сумма всех чисел была равна А в ре­зуль­та­те на доске оста­нут­ся чисел с общей сум­мой Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно 17, тогда

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но. Зна­чит, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел не может быть равно 17.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­ных чисел равно 24, зна­чит, где S  — пер­во­на­чаль­ная сумма чисел, ко­то­рые не будут стёрты, от­ку­да Тогда в силу не­ра­венств

сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел не может быть мень­ше зна­че­ния  ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при и При­ведём при­мер, при ко­то­ром до­сти­га­ет­ся по­лу­чен­ное зна­че­ние. Пусть на доске было на­пи­са­но де­вять чисел 50, де­сять чисел 2 и число 10  — их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 24. Затем все числа 50, и толь­ко их, уве­ли­чи­ли на еди­ни­цу и стёрли. На доске оста­лись де­сять чисел 2 и число 10  — их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 

Ответ: а)  да, б)  нет, в)