Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

От при­ста­ни A к при­ста­ни B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 323 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 2 часа после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью на 2 км/⁠ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

ИЛИ

Сме­шав 45-про­цент­ный и 97-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 62-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 72-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 45-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

ИЛИ

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 5 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 104 литра она за­пол­ня­ет на 5 минут доль­ше, чем вто­рая труба?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть u км/ч  — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна u + 2 км/⁠ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 2 часа боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: 323, зна­ме­на­тель: u конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 323, зна­ме­на­тель: u плюс 2 конец дроби = 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 646, зна­ме­на­тель: u в квад­ра­те плюс 2u конец дроби = 2 \undersetu боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но 323 = u в квад­ра­те плюс 2u рав­но­силь­но
рав­но­силь­но u в квад­ра­те плюс 2u минус 323 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний u = минус 19, u = 17 конец со­во­куп­но­сти . \underset u боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но u = 17.

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 17 км/⁠ч.

 

Ответ: 17.

ИЛИ

Пусть масса 45-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — m1 кг, а масса 97-про­цент­но­го  — m2. Если сме­шать 45-про­цент­ный и 97-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить 10 кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 62-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: 0,45m_1 плюс 0,97m_2=0,62 левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка . Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 72-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: 0,45m_1 плюс 0,97m_2 плюс 0,5 умно­жить на 10=0,72 левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0,45m_1 плюс 0,97m_2=0,62m_1 плюс 0,62m_2 плюс 6,2, новая стро­ка 0,45m_1 плюс 0,97m_2 плюс 5=0,72m_1 плюс 0,72m_2 плюс 7,2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0,35m_2 минус 0,17m_1=6,2, новая стро­ка 0,25m_2 минус 0,27m_1=2,2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 35m_2 минус 17m_1=620, новая стро­ка 25m_2 минус 27m_1=220 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка m_2= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: чис­ли­тель: 124, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , новая стро­ка 25 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: чис­ли­тель: 124, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 27m_1=220 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка m_2= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: чис­ли­тель: 124, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 104, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби m_1= дробь: чис­ли­тель: 1560, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка m_1=15, новая стро­ка m_2=25. конец си­сте­мы .

Зна­чит, было ис­поль­зо­ва­но 15 ки­ло­грам­мов 45-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты.

 

Ответ: 15.

ИЛИ

Пусть x лит­ров  — объем воды, про­пус­ка­е­мой пер­вой тру­бой в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет x плюс 5 лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объ­е­мом 104 литра пер­вая труба за­пол­ня­ет на 5 минут доль­ше, чем вто­рая труба, от­сю­да имеем:

дробь: чис­ли­тель: 104, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби плюс 5= дробь: чис­ли­тель: 104, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 104 плюс 5x плюс 25, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 104, зна­ме­на­тель: x конец дроби \undersetx боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но 104x плюс 520=5x в квад­ра­те плюс 129x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 5x минус 104=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x = 8; новая стро­ка x = минус 13 конец со­во­куп­но­сти .\undersetx боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но x=8.

Зна­чит, пер­вая труба про­пус­ка­ет 8 лит­ров воды в ми­ну­ту.

 

Ответ: 8.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2026 по ма­те­ма­ти­ке. Про­филь­ный уро­вень
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026