Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 688506
i

Точка F лежит на мень­шей дуге ВС окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та ABCD, при­чем \angle FCB = 2 умно­жить на \angle FBC. Пря­мая AF пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ВС в точке Т, а диа­го­наль BD  — в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что ТО  =  ТС.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны квад­ра­та, если ВО  =  1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  На бо́льшую дугу CB опи­ра­ет­ся угол, рав­ный 270°. От­сю­да по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

\angle CFB = 135 гра­ду­сов,

\angle FCB плюс \angle FBC = 45 гра­ду­сов,

\angle FCB = 30 гра­ду­сов,

\angle FBC = 15 гра­ду­сов.

Хорда AC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, по­это­му \angle CFA = 90 гра­ду­сов. Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти равен R. По тео­ре­ме си­ну­сов по­лу­ча­ем FB = 2R синус 30 гра­ду­сов = R. Далее \angle BFT = 135 гра­ду­сов минус 90 гра­ду­сов = 45 гра­ду­сов, то есть \angle FTB = 120 гра­ду­сов. Тогда

дробь: чис­ли­тель: FT, зна­ме­на­тель: синус 15 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: FB, зна­ме­на­тель: синус 120 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: TB, зна­ме­на­тель: синус 45 гра­ду­сов конец дроби ,

от­ку­да

FT = дробь: чис­ли­тель: 2R синус 15 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

BT = дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков FCT и BOT на­хо­дим:

CT = 2FT = дробь: чис­ли­тель: 4R синус 15 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

TO = синус 45 гра­ду­сов умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BT, зна­ме­на­тель: синус 75 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус 75 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус 75 гра­ду­сов конец дроби .

От­но­ше­ние по­лу­чен­ных вы­ра­же­ний равно

дробь: чис­ли­тель: CT, зна­ме­на­тель: TO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4R синус 15 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 75 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: R конец дроби = 4 синус 15 гра­ду­сов синус 75 гра­ду­сов = 4 синус 15 гра­ду­сов ко­си­нус 15 гра­ду­сов = 2 синус 30 гра­ду­сов = 1,

от­ку­да сле­ду­ет, что CT = TO.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BOT на­хо­дим:

дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: синус 60 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BT, зна­ме­на­тель: синус 75 гра­ду­сов конец дроби рав­но­силь­но BT = дробь: чис­ли­тель: синус 75 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: синус 60 гра­ду­сов конец дроби .

Из пунк­та а) из­вест­но, что BT = дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Сле­до­ва­тель­но,

R = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: синус 75 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: синус 60 гра­ду­сов конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус 75 гра­ду­сов.

Длина сто­ро­ны квад­ра­та боль­ше длины ра­ди­у­са опи­сан­ной около него окруж­но­сти в  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та  раз, по­это­му

AB = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та R = 2 синус 75 гра­ду­сов = 2 синус левая круг­лая скоб­ка 30 гра­ду­сов плюс 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка синус 30 гра­ду­сов ко­си­нус 45 гра­ду­сов плюс ко­си­нус 30 гра­ду­сов синус 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 510
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026