а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы слу­жит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, АВ  =  ВС. Точка K  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани АСС₁А₁, точка L делит ребро А₁В₁ так, что А₁L : LB₁  =  3 : 1, точка М делит ребро ВС в от­но­ше­нии СМ : МВ  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KML делит ребро ВВ₁ в от­но­ше­нии 9 : 1, счи­тая от точки В.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны А до плос­ко­сти KML, если АА₁  =  20, АС  =  16.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шать­ся по сле­ду­ю­ще­му прин­ци­пу:

—  в пер­вые 3 ме­ся­ца долг со­кра­ща­ет­ся на x руб­лей каж­дый месяц,

—  в сле­ду­ю­щие 3 ме­ся­ца  — на 2x руб­лей каж­дый месяц,

—  в по­след­ние 3 ме­ся­ца  — на 3x руб­лей каж­дый месяц,

—  до 14-го ок­тяб­ря долг дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат пре­вы­ша­ет взя­тую сумму на 60%. Най­ди­те r.

Точка F лежит на мень­шей дуге ВС окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та ABCD, при­чем Пря­мая AF пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ВС в точке Т, а диа­го­наль BD  — в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что ТО  =  ТС.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны квад­ра­та, если ВО  =  1.

Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Аби­ту­ри­ен­ты сда­ва­ли эк­за­ме­ны в те­че­ние трех дней в одних и тех же ауди­то­ри­ях. Число эк­за­ме­но­вав­ших­ся каж­дый день аби­ту­ри­ен­тов в каж­дой ауди­то­рии было равно числу ауди­то­рий. Если бы эк­за­ме­ны про­во­ди­лись в дру­гом кор­пу­се, то их можно было бы про­ве­сти в два дня, ис­поль­зуя каж­дый день одни и те же ауди­то­рии, при­чем каж­дый день в каж­дой ауди­то­рии аби­ту­ри­ен­тов уда­лось бы рас­са­дить так, что число рядов, а также число людей в ряду было бы рав­ным числу ауди­то­рий.

а)  Может ли сумма числа ауди­то­рий в обоих кор­пу­сах быть равна 24?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы числа ауди­то­рий в обоих кор­пу­сах.

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ное число аби­ту­ри­ен­тов, ко­то­рое могло быть про­эк­за­ме­но­ва­ны при этих усло­ви­ях.