Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 689666
i

Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна d и об­ра­зу­ет с его двумя гра­ня­ми углы, рав­ные α, а с тре­тьей  — угол, рав­ный β.

а)  До­ка­жи­те, что синус в квад­ра­те бета = ко­си­нус 2 альфа .

б)  Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если d = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ек­ци­я­ми диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да B1D на плос­ко­сти гра­ней AA1D1D, DD1C1C и ABCD яв­ля­ют­ся их соб­ствен­ные диа­го­на­ли  — от­рез­ки DA1, DC1 и DB со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Пусть \angle A_1DB_1 = \angle C_1DB_1 = альфа , \angle B_1DB = бета . Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки A1B1D и C1B1D равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но,

A_1B_1 = B_1C_1 = d синус альфа ,

BB_1 = d синус бета .

в тре­уголь­ни­ке DBB1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим B_1D в квад­ра­те = BD в квад­ра­те плюс BB_1 в квад­ра­те , от­ку­да

d в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на d синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка d синус бета пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но d в квад­ра­те = 2d в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа плюс d в квад­ра­те синус в квад­ра­те бета рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 1 = 2 синус в квад­ра­те альфа плюс синус в квад­ра­те бета рав­но­силь­но ко­си­нус 2 альфа = синус в квад­ра­те бета .

б)  Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) сле­ду­ет, что

A_1B_1 = B_1C_1 = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

BB_1 = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус бета = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус 2 альфа конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = 2.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

V = A_1B_1 умно­жить на B_1C_1 умно­жить на BB_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 = 4.

Ответ: б)  4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 513
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025