В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М — середина бокового ребра SC, на ребрах AS и BS отмечены точки K и L соответственно так, что SK : KA = SL : LB = 3 : 1. Сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 7.
а) Докажите, что угол между плоскостью АВС и плоскостью KML равен 30°.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости KML.
а) Угол MFC1 — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения KML, так как прямые FC1 и EC параллельны, EC — высота основания, MF — высота равнобедренного треугольника KML. Известно, что AB = 6, SO = 7, находим, что
Так как прямые FO2 и SO параллельны, имеем:
тогда
В треугольнике MFP:
Найдем тангенс угла MFP:
откуда 
б) Отрезок SH — перпендикуляр из точки S на плоскость KML, точка H принадлежит прямой FM (треугольник KLM — равнобедренный). Расстояние от точки S до плоскости KML равно SH и равно 
Находим FS по теореме Пифагора:
Угол SFC1 равен сумме углов SFM и MFC1, что равно сумме углов α и β и равно углу SEO. Из треугольника SEO:
находим тангенс угла β:
отсюда 
Найдем синус угла β:
Тогда расстояние от точки S до плоскости KML равно
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Из середины M бокового ребра SC проведем лучи, проходящие через точки K и L, до пересечения с продолжениями ребер CB и CA в точках F и E соответственно (см. рис.). Проведем также отрезок AA1 параллельно лучу ME. Тогда по теореме Фалеса:
Значит, 
Далее, из доказанного в пункте а) следует, что в прямоугольном треугольнике MHO1 катет MO1 лежит против угла в 30°, то есть равен половине гипотенузы. Следовательно, 
Выразим объемы многогранников:
Таким образом, объемы пирамид MSEF и MCEF равны. Отсюда получаем:
