а)  Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Ос­но­ва­ние  О вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся цен­тром рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. Про­ве­дем от­ре­зок CH  — вы­со­ту ос­но­ва­ния. Тогда:

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке О, как по­ка­за­но ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат на­хо­дим:

Если точка R делит от­ре­зок PQ в от­но­ше­нии m : n, счи­тая от точки А, то ко­ор­ди­на­ты точки R суть

На­хо­дим ко­ор­ди­на­ты точек K, L и M:

За­да­дим плос­кость KLM опре­де­ли­те­лем:

Вы­чис­ляя опре­де­ли­тель, опус­кая про­ме­жу­точ­ные вы­чис­ле­ния, на­хо­дим урав­не­ние плос­ко­сти KLM:

Век­то­ром, пер­пен­ди­ку­ляр­ным плос­ко­сти KLM, яв­ля­ет­ся Век­то­ром, пер­пен­ди­ку­ляр­ным плос­ко­сти ABC, яв­ля­ет­ся Най­дем ко­си­нус угла φ между плос­ко­стя­ми ABC и KLM:

от­ку­да угол между плос­ко­стя­ми ABC и KLM равен 30°.

б)  Рас­сто­я­ние d от точки до плос­ко­сти равно

Ответ: б) 

а)  Угол MFC₁  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC и плос­ко­стью се­че­ния KML, так как пря­мые FC₁ и EC па­рал­лель­ны, EC  — вы­со­та ос­но­ва­ния, MF  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка KML. Из­вест­но, что AB  =  6, SO  =  7, на­хо­дим, что

Так как пря­мые FO₂ и SO па­рал­лель­ны, имеем:

тогда

В тре­уголь­ни­ке MFP:

Най­дем тан­генс угла MFP:

от­ку­да

б)  От­ре­зок SH  — пер­пен­ди­ку­ляр из точки S на плос­кость KML, точка H при­над­ле­жит пря­мой FM (тре­уголь­ник KLM  — рав­но­бед­рен­ный). Рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти KML равно SH и равно На­хо­дим FS по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Угол SFC₁ равен сумме углов SFM и MFC₁, что равно сумме углов α и β и равно углу SEO. Из тре­уголь­ни­ка SEO:

на­хо­дим тан­генс угла β:

от­сю­да Най­дем синус угла β:

Тогда рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти KML равно

Ответ: б) 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Из се­ре­ди­ны M бо­ко­во­го ребра SC про­ве­дем лучи, про­хо­дя­щие через точки K и L, до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­я­ми ребер CB и CA в точ­ках F и E со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Про­ве­дем также от­ре­зок AA₁ па­рал­лель­но лучу ME. Тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са:

Зна­чит, Далее, из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) сле­ду­ет, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHO₁ катет MO₁ лежит про­тив угла в 30°, то есть равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Сле­до­ва­тель­но,

Вы­ра­зим объ­е­мы мно­го­гран­ни­ков:

Таким об­ра­зом, объ­е­мы пи­ра­мид MSEF и MCEF равны. От­сю­да по­лу­ча­ем: