ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 690537 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате = дробь: числитель: x левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка минус |x| левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2x конец дроби , ax минус y плюс 2a = 0 конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое уравнение системы. Дробь в правой части определена, если $x не равно q 0.$ Если $x больше 0,$ уравнение принимает вид $x в квадрате плюс y в квадрате = 1 левая круглая скобка * правая круглая скобка .$ Если $x меньше 0,$ имеем:

$x в квадрате плюс y в квадрате = дробь: числитель: x левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка плюс x левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2x конец дроби равносильно x в квадрате плюс y в квадрате = y равносильно x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Уравнение (⁎) при $x больше 0$ задает на координатной плоскости половину окружности радиусом 1 с центром в начале координат, лежащую правее оси ординат, а уравнение (⁎⁎)  — половину окружности радиусом  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ с центром в точке  $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ лежащую левее оси ординат (см. рис.). Уравнение $y = a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка$ задает семейство прямых, проходящих через точку  $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка ,$ наклон которых зависит от значения параметра.

Прямая $y = ax плюс 2a$ пересекается с объединением полуокружностей в единственной точке, если $минус 1 меньше y меньше или равно 0,$ если $y = 1,$ или если прямая касается полуокружности, которую задает уравнение (⁎⁎). Рассмотрим каждый случай.

1.  Если $минус 1 меньше y меньше или равно 0,$ то $0 меньше x меньше или равно 1.$ Прямая $y = ax плюс 2a$ проходит через точку $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка$ при $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а через точку (1; 0)  — при $a = 0.$ Значит, $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше или равно 0.$

2.  Если $y = 1,$ то $x = 0.$ Тогда уравнение прямой принимает вид $y = 2a,$ откуда $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

3.  Подставим выражение для y из уравнения прямой в уравнение левой полуокружности. Получим:

$x в квадрате плюс левая круглая скобка ax плюс 2a правая круглая скобка в квадрате = ax плюс 2a равносильно x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате плюс 4a в квадрате x плюс 4a в квадрате = ax плюс 2a равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 4a в квадрате минус a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0.$ $x в квадрате плюс левая круглая скобка ax плюс 2a правая круглая скобка в квадрате = ax плюс 2a равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате плюс 4a в квадрате x плюс 4a в квадрате = ax плюс 2a равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 4a в квадрате минус a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0.$

Приравняем дискриминант полученного уравнения к нулю:

$левая круглая скобка 4a в квадрате минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно 16a в степени 4 минус 8a в кубе плюс a в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4a в степени 4 минус 2a в кубе плюс 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 16a в степени 4 минус 8a в кубе плюс a в квадрате минус 16a в степени 4 плюс 8a в кубе минус 16a в квадрате плюс 8a = 0 равносильно минус 15a в квадрате плюс 8a = 0 \underset a не равно q 0 \mathop равносильно a = дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби .$ $левая круглая скобка 4a в квадрате минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 16a в степени 4 минус 8a в кубе плюс a в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4a в степени 4 минус 2a в кубе плюс 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 16a в степени 4 минус 8a в кубе плюс a в квадрате минус 16a в степени 4 плюс 8a в кубе минус 16a в квадрате плюс 8a = 0 равносильно минус 15a в квадрате плюс 8a = 0 \underset a не равно q 0 \mathop равносильно a = дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби .$ $левая круглая скобка 4a в квадрате минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 16a в степени 4 минус 8a в кубе плюс a в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4a в степени 4 минус 2a в кубе плюс 4a в квадрате минус 2a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 16a в степени 4 минус 8a в кубе плюс a в квадрате минус 16a в степени 4 плюс 8a в кубе минус 16a в квадрате плюс 8a = 0 равносильно$
$равносильно минус 15a в квадрате плюс 8a = 0 \underset a не равно q 0 \mathop равносильно a = дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби .$

Уравнение касательной: $y = дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби x плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 15 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 15 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 515

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Уравнение окружности

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь