Два трехзначных числа, не имеющих нулевых цифр будем называть родственными, если у них одинаковые произведения цифр. Множество родственных чисел будем называть родом.
а) Может ли род иметь 10 членов?
б) Может ли род иметь 17 членов?
в) Сколько родов имеют три члена?
Заметим, что при перестановке цифр их произведение не меняется. Если все цифры в числе разные, то этих перестановок шесть, если две одинаковые — три, если все одинаковые — одна.
а) Для произведения цифр 8 есть варианты 
(три числа), 
(6 чисел) и 
(1 число), итого 10.
б) Ясно, что только для одной цифры ее куб может быть равен данному числу, поэтому в любом роду количество чисел либо 
либо 
и потому дает остаток 0 или 1 при делении на 3, а 17 дает остаток 2.
в) Нужно, чтобы число (произведение цифр) единственным способом раскладывалось в произведение трех цифр, причем две из них получались одинаковыми. Исследуем каждую цифру при двойном повторении:
—
и вариантов будет больше. Аналогично 
можно переделать в 
в 
и 
в 
подходит, поскольку если произведение трех ненулевых цифр кратно 25, то среди них есть две пятерки, что однозначно определит третью цифру. Аналогично 
при любом 
подходит.
можно переделать в 
При 
произведение равно 28, а каждая цифра кратна не более чем 23, поэтому вариант единственный. При 
и 
в числе должна быть цифра 5 или 7, а затем подойдут только две восьмерки — вариант единственный. При 
одна из цифр кратна 3, а их произведение кратно 27, значит, кратная трем цифра это 6, а затем подойдут только две восьмерки — вариант единственный. При 
одна из цифр кратна 3, а их произведение кратно 26, если кратная трем цифра это 6, то произведение остальных двух 
и потому это 9, а затем подойдут только две восьмерки — вариант единственный, 
разумеется не подойдет.
значит цифры 1, 2, 4 не подходят. Остальные 
подойдут.
Итак, общее количество нужных произведений это 
штук.