Тройку разных натуральных чисел будем называть правильной, если среднее арифметическое любых двух из этих чисел будет натуральным числом. Возьмем любую правильную тройку и построим последовательность троек таким образом, что каждая следующая состоит из средних арифметических пар чисел последней построенной тройки.
а) Построенная последовательность закончилась неправильной тройкой. Будут ли в этой тройке все числа разными?
б) Может ли получиться бесконечная последовательность троек?
в) Группа школьников на подготовительных курсах по математике сдавала репетиционный ЕГЭ. Все они превысили минимальный балл для поступления в вуз. Оказалось, что среди полученных баллов наименьший, средний и наибольший образуют правильную тройку, причем получающаяся из нее последовательность троек содержит баллы всех школьников группы и имеет максимальную возможную сумму баллов. Сколько школьников было в этой группе, и какой получился в результате средний балл?
Ясно, что тройка будет правильной в тех и только тех случая, когда все числа в ней четны или все числа в ней нечетны. Кроме того, если в тройке были числа a, b, c и стали 
то разности между числами группы были 
(возможно с другими знаками, если числа упорядочены по-другому), а стали 
то есть уменьшились вдвое.
а) Если одна из разностей после многократных делений на 2 стала нулевой, то она и была нулевой, то есть изначально были два одинаковых числа. Но это запрещено по условию.
б) Нет. Разности между членами группы уменьшаются вдвое, при этом оставаясь целыми. Если не все они были нулями (то есть не все числа были равны), это не сможет продолжаться бесконечно.
в) Приведем сначала ответ: 
В этом варианте школьников 9 и их средний балл 84, а сумма баллов в последовательности 
Заметим, что
то есть сумма чисел в правильной тройке всегда одна и та же. Все они набрали минимум 40 баллов и максимум 100 баллов, поэтому разница между минимальным и максимальным баллами не больше 60. Она равна сумме двух разностей (максимального со средним и среднего с минимальным), значит, одна из разностей не больше 30 и потому не делится на 32. Значит, повторять операцию можно будет не больше 4 раз. Далее, все возможные баллы, кроме 95, 97, 99 четны, поэтому сделать баллы нечетными нельзя. Докажем это.
Если это еще не последнее действие, то они все должны присутствовать, тогда на предыдущем шаге должны были быть числа 100, 98 (по-другому не получить 99), а еще на шаг назад отступить нельзя (потому что 100 нельзя получить как среднее), значит, всего было не более трех троек (одна с числом 100, другая с тремя нечетными, третья 96, 97, 98) и сумма в них не превосходит 
Если же это последнее действие, перед которым было не менее трех троек (если две, то сумма также не превосходит 900), то в первой тройке все разности делились минимум на 8, поэтому наибольшие возможные числа могли быть 100 и 92, а наибольшее уже во второй тройке могло быть 96. Аналогично во второй тройке все разности делились на 4, поэтому наибольшее в третьей тройке могло быть не больше 
Начиная с этого момента, чисел, не меньших 95, не появится.
Значит, действительно даже 4 раза повторить операцию нельзя, а можно только 3. Наибольшие возможные числа для начала операций это 100, 
Тогда получим ответ, указанный вначале.
Ответ: а) да; б) нет; в) средний балл 84, школьников 9 (если считать, что баллы не повторялись, иначе их может быть сколько угодно).