а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник, один из углов ко­то­ро­го 135°, а про­ти­во­ле­жа­щая ему сто­ро­на  Каж­дое бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60°. Точка O  — центр сферы, опи­сан­ной около дан­ной пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что точка O рас­по­ло­же­на между вер­ши­ной и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки O до плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ари­старх 15 марта решил от­кла­ды­вать оди­на­ко­вую сумму каж­дый месяц на по­куп­ку па­ке­та акций. 1 марта пакет акций стоил 87 500 руб­лей. 1 числа каж­до­го ме­ся­ца пакет акций до­ро­жа­ет на 20%. Какую наи­мень­шую сумму нужно от­кла­ды­вать Ари­стар­ху каж­дый месяц, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить пакет акций?

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с пря­мым углом A на ос­но­ва­нии AD от­ме­че­на точка M, а на сто­ро­не CD точка N так, что AM  =  DN и

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BD и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABM равна 6, а точка N  — се­ре­ди­на CD.

Най­ди­те все пары чисел (a; b), при ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

вы­пол­ня­ет­ся для всех x на про­ме­жут­ке 

Трой­ку раз­ных на­ту­раль­ных чисел будем на­зы­вать пра­виль­ной, если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых двух из этих чисел будет на­ту­раль­ным чис­лом. Возь­мем любую пра­виль­ную трой­ку и по­стро­им по­сле­до­ва­тель­ность троек таким об­ра­зом, что каж­дая сле­ду­ю­щая со­сто­ит из сред­них ариф­ме­ти­че­ских пар чисел по­след­ней по­стро­ен­ной трой­ки.

а)  По­стро­ен­ная по­сле­до­ва­тель­ность за­кон­чи­лась не­пра­виль­ной трой­кой. Будут ли в этой трой­ке все числа раз­ны­ми?

б)  Может ли по­лу­чить­ся бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность троек?

в)  Груп­па школь­ни­ков на под­го­то­ви­тель­ных кур­сах по ма­те­ма­ти­ке сда­ва­ла ре­пе­ти­ци­он­ный ЕГЭ. Все они пре­вы­си­ли ми­ни­маль­ный балл для по­ступ­ле­ния в вуз. Ока­за­лось, что среди по­лу­чен­ных бал­лов наи­мень­ший, сред­ний и наи­боль­ший об­ра­зу­ют пра­виль­ную трой­ку, при­чем по­лу­ча­ю­ща­я­ся из нее по­сле­до­ва­тель­ность троек со­дер­жит баллы всех школь­ни­ков груп­пы и имеет мак­си­маль­ную воз­мож­ную сумму бал­лов. Сколь­ко школь­ни­ков было в этой груп­пе, и какой по­лу­чил­ся в ре­зуль­та­те сред­ний балл?